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P1006　[NOIP 2008 提高组] 传纸条

来源：洛谷 ★ 1500

本题活力0.71按难度、完成结果与训练证据估算

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题目描述

[NOIP 2008 提高组] 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友，也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里。小渊坐在矩阵的左上角，坐标为 $(1,1)$；小轩坐在矩阵的右下角，坐标为 $(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说，如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。

还有一件事情需要注意：全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 $m,n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行第 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

说明/提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，满足 $2 \le m,n \le 10$。
对于 $100\%$ 的数据，满足 $2 \le m,n \le 50$。

【题目来源】

NOIP 2008 提高组第三题。

样例 1

输入：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出：

34

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n,m;
    cin >>n>>m;
    vector<vector<vector<vector<int>>>> dp(n + 1, vector<vector<vector<int>>>(m + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(m + 1, 0))));
    vector<vector<int>> a(n + 1, vector<int>(m + 1, 0)); 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>a[i][j];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            for (int k = 1; k <= n; ++k) {
                int l = i + j - k;
                if (l < 1 || l > m) continue;
                int max_val = max(max(dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1]),
                                  max(dp[i][j-1][k-1][l], dp[i][j-1][k][l-1]));

                dp[i][j][k][l] = max_val + a[i][j];
                if (i != k || j != l) {
                    dp[i][j][k][l] += a[k][l];
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[n][m][n][m] << endl;
    return 0;
}